Jiang Guosheng兄，我现在给出另一种证明.事实上，这道题的背景是数值积分中的梯形法则.

 

设$f\in C^1[0,1]$,则

\begin{equation}

\lim_{n\to\infty}n\left[\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\right]=\frac{f(1)-f(0)}{2}.

\end{equation}

 

我们对区间$[0,1]$进行等分，各个等分点按照从小到大排列依次是

\begin{align*}

x_0=0,x_1=\frac{1}{n},\cdots,x_{n-1}=\frac{n-1}{n},x_n=1

\end{align*}

其中$\forall 0\leq i\leq n$,

$$x_i=\frac{i}{n}$$

根据梯形法则，我们知道$\forall 0\leq i\leq n-1$,

\begin{align*}

\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx\approx \frac{1}{2n}[f(\frac{i}{n})+f(\frac{i+1}{n})]

\end{align*}

下面我们证明

\begin{align*}

\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx-\frac{1}{2n}[f(\frac{i}{n})+f(\frac{i+1}{n})]=o(\frac{1}{n^2})

\end{align*}

我们只用证明

\begin{align*}

\int_{a\delta}^{a\delta+\delta}f(x)dx-\frac{1}{2}\delta[f(a\delta)+f(a\delta+\delta)]=o(\delta^2)

\end{align*}

我们只用证明

\begin{align*}

\lim_{\delta\to 0}\frac{\int_{a\delta}^{a\delta+\delta}f(x)dx-\frac{1}{2}\delta [f(a\delta)+f(a\delta+\delta)]}{\delta^2}=0

\end{align*}

我们只用证明

\begin{align*}

\lim_{\delta\to 0}\frac{\int_0^{a\delta+\delta}f(x)dx-\int_0^{a\delta}f(x)dx-\frac{1}{2}\delta[f(a\delta)+f(a\delta+\delta)]}{\delta^2}=0

\end{align*}

根据洛必达法则，只用证明

\begin{align*}

\lim_{\delta\to 0}\frac{(a+1)f(a\delta+\delta)-af(a\delta)-\frac{1}{2}[f(a\delta)+f(a\delta+\delta)]-\frac{1}{2}\delta[af'(a\delta)+(a+1)f'(a\delta+\delta)]}{\delta}=0

\end{align*}

根据微分中值定理,即

\begin{align*}

\lim_{\delta\to

0}af'(\xi_1)+\frac{1}{2}f'(\xi_1)-\frac{1}{2}[af'(a\delta)+(a+1)f'(a\delta+\delta)]\to 0

\end{align*}

根据$f'$在$[0,1]$的连续性，我们只用证明

\begin{align*}

af'(0)+\frac{1}{2}f'(0)-\frac{1}{2}[af'(0)+(a+1)f'(0)]=0

\end{align*}

这是容易的.因此

\begin{align*}

\int_{\frac{i}{n}}^{i+1}\frac{i+1}{n}f(x)dx=\frac{1}{2n}[f(\frac{i}{n})+f(\frac{i+1}{n})]+o_{i}(\frac{1}{n^2})

\end{align*}

累加可得

\begin{align*}

\int_0^1f(x)dx=\frac{1}{n}[\frac{1}{2}f(0)+f(\frac{1}{n})+\cdots+f(\frac{n-1}{n})+\frac{1}{2}f(1)]+\sum_{i=0}^{n-1}o_i(\frac{1}{n^2})

\end{align*}

所以

\begin{align*}

n[\int_0^1f(x)dx-\frac{1}{n}[f(0)+f(\frac{1}{n})+\cdots+f(\frac{n-1}{n})]]= [\frac{1}{2}f(1)-\frac{1}{2}f(0)]+n\sum_{i=0}^{n-1}o_i(\frac{1}{n^2})

\end{align*}

所以

\begin{equation}

\lim_{n\to\infty}n\left[\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\right]=\frac{f(1)-f(0)}{2}.

\end{equation}

 注:在核心步骤里,一位Stackexchange上的老外给出了